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by math90
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定理

定理とは、
   「定義や公理(※)から、導かれる真の命題」
のことです。つまり、様々な対象の間に、定義や公理からある関係が証明できたとき、その関係を「定理」と言います。

そして、証明された定理を使って、さらに複雑な関係を調べたり、概念を深めたりしていくのが、数学と言うことになるのでしょう。

たとえば、 
   「3辺の長さが等しい三角形を正三角形という」
というのは、正三角形の定義ですが、これから、
   「正三角形の3つの角はすべて等しい」
という定理が導かれます。そして、これより、
   「正三角形の1つの角は60°である」
という正三角形の性質がわかり、正三角形の概念が深められていく、というような具合です。

定理は本来、「使うもの」です。すでに証明されている定理を使う場合に、その都度、証明する必要はありません。けれども、定理を使うには、まずその定理が適用できる場面であるかどうかを確認しなければなりません。そして、適用可能かそうでないかは、その定理の証明の内容を理解していなくてはなりません。したがって、定理を使う時には、定理の証明を理解することが、大前提となります。

また、定理は、上記の例のように、定義(正三角形の辺の関係)から、定理の内容(正三角形の角の関係)が発展的に考えつくものばかりではありません。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)のように、ある人物によって発見されたものは、その内容を、われわれが、定義から考え付けるようなものではないので、理解して覚えなければなりません。そのような定理を使って、より深い研究を進めるためには、定理の内容を覚え、すばやく、正しく使うための演習が不可欠であると思っています。


小中学校においても、定理は、内容を理解し、証明ができるようにしておく
ことと、正しく、すばやく使えるように演習することは、その双方ができて初めて、定理を学習したということになると思います。


参考 → 新しい概念を学習するとき



(※)
公理とは、「ある世界のなかで、前提とされる命題で、自明な(証明する必要のない)もの」です。たとえば、ユークリッド幾何の世界では、「平行線は交わらない」は公理です。



 
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by math90 | 2006-03-04 23:32 | 数学一般
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