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カテゴリ:中学校の数学( 7 )
正の数・負の数 

新学期も始まって、やっと新しい学年も落ち着いてきました。

つい先日まで小学校の体操服で塾に来ていた旧6年生の子どもたちも、中学1年生として、初めての定期考査に挑みます。がんばれ!

中学数学ではじめの難関は正の数・負の数です。正の数・負の数の演算をすんなり受け入れることができれば、まず中学数学のファースト・ステージをクリアしたといっても過言ではありません。ここは慎重に扱いたいところと思います。

中学の教科書では、まず正の数・負の数を「反対の性質をもつと考えられる量」「基準とした量からの増減や過不足」として扱います。まだ、この段階では、それほどわかりにくくありませんが、この後「絶対値」が登場すると一気に分からなくなるようです。

教科書や参考書には、正の数・負の数の足し算を、絶対値を使って、
   同符号の2数の和 → 符号は共通の符号
                  絶対値は2数の絶対値の和
   異符号の2数の和 → 符号は絶対値の大きいほうの符号
                  絶対値は2数の絶対値の差
などと説明してあります。この説明はわかりにくく、かえって訳がわからなくなりそうです。3数の和のときは、いったいどうしたらよいのでしょう。

さらに引き算は、
   2数の差 → 引く数の符号を変えて、足し算に直す
と言われても、戸惑うことが多いかと思います。


正の数・負の数の足し算・引き算で、まず大切なことは、-と+の記号が、数字の符号(プラス、マイナス)なのか、演算(足し算、引き算)なのかを、意識することと思います。
   (-3)+(+6) → マイナス3 たす プラス6
   (+8)-(-4) → プラス8  ひく マイナス4
と、読むとよいと思います。

その上で、数直線で考えるのが有効でしょう。

はじめの数値が始点、演算が数直線上の移動、終点が答えと捉えます。そして、数直線では、向き移動の仕方に着目します。
   足し算 → 正の方(右)に向く
   引き算 → 負の方(左)に向く
   プラス → 前に移動する
   マイナス → 後ろに移動する

という意味になります。

これで考えると
 
   +(+1)→ 正の方向を向いて前に1移動する
           つまり「正の方向(右)に1移動する」

   +(-1)→ 正の方向を向いて後ろに1移動する。
           つまり「負の方向(左)に1移動する」

   -(+1)→ 負の方向を向いて前に1移動する
           つまり「負の方向(左)に1移動する」

   -(-1)→ 負の方向を向いて後ろに1移動する
           つまり「正の方向(右)に1移動する」

となり、
   +(+1)= +1
   +(-1)= -1
   -(+1)= -1
   -(-1)= +1
とまとめることができます。これなら、3数以上の足し算・引き算にも対応できると思います。
 

慣れるまでは、実際に数直線を書いて、その上をフィギュアでも使って移動させてみたり、床に数直線を想定して、自ら、「あちらを向いて前に一歩、反対を向いて後ろに一歩」と歩いてみたりするのもよいと思います。





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by math90 | 2006-05-13 00:31 | 中学校の数学
直角三角形の「斜辺」

中学3年生の3学期に、三平方の定理 ~直角三角形において、直角をはさむ2辺の長さの二乗の和は斜辺の長さの二乗と同じである~ が登場します。

この定理を利用した基本問題は、直角三角形の2辺の長さから、他の1辺の長さを求めるという問題です。単に値を代入するだけという簡単な問題にもかかわらず、できない生徒や間違える生徒がでてきます。生徒たちは、ちょっと辺を間違えただけと言いますが、それを安易に見逃すことはできません。

生徒たちに「斜辺」をどのように探しているのかをたずねると、「一番長い辺」、「斜めのところ」などという答えが返ってきます。確かに、直角三角形の斜辺は一番長い辺ですが、数学の問題では必ずしも図が正確に描かれているとは限らないので、長さを基準に判断することできません。また、下図のように、斜辺を底辺にして直角三角形が描いてあると、斜めのところが斜辺ではなくなってしまいます。
e0017757_0145750.jpg

多くの生徒が、「直角三角形の斜辺はどこ?」という問いには答えられても、「直角三角形の斜辺って何?」という問いには、正確に答えられません。つまり、彼らは、直角三角形の「斜辺」の「定義」が分かっていないのです。

直角三角形の「斜辺」とは、「直角の対辺」と定義されています。三角形の中で、一つの角が直角という特別な三角形の、特別な部分に着目して「斜辺」は定義されているのです。

三平方の定理については、最近では、等積変換での証明を画像により視覚的に見せてくれる教材があったり、生徒自ら折り紙を使って証明を確認できたりと、楽しく理解できる定理としてクローズアップされています。

けれども、定理の内容を正確に把握するためにも、まず定理に使われている用語の定義をキチンと確認することは、数学では基本の基本であることも、忘れないでほしいと思っています。



                                    
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by math90 | 2006-02-12 23:24 | 中学校の数学
多項式と方程式と関数

等号を意識していない生徒は、数式に無頓着です。たとえば、多項式、方程式、関数を混同しています。
e0017757_15424821.jpg

この3つの違いに気づきません。

e0017757_18183645.jpg

中学校の数学では、この3つの概念は同時には学習しないので、その違いに気づかず済んでしまうことも多いようですが、高校入試対策で総合的に復習するときに、多項式を方程式のように解く生徒も少なくありません。

e0017757_1624855.jpg

多項式、方程式、関数は、よく似ていますが、それぞれ異なる概念になります。概念がちがうので、扱い方も変わります。高校数学Ⅰで、方程式と関数の関係を学習し、方程式と関数の密接な関係が分かります。けれども、両者の関係を考える前に、まず、その違いを明確の認識していなければ、関係を学習する意味すら分からなくなってしまいます。

中学数学のうちに、それぞれの数式が何を意味するのか、何をするためのものか、を正しく捉えてほしいと思っています。数式の中の等号がとても重要であることが理解できると思います。





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by math90 | 2006-01-31 15:50 | 中学校の数学
等号の使い方

「計算ミス」の言葉の怖さと共に、中学生で気になることとして、「等号の使い方」があります。「等号」とは、「等しいという関係」を表す重要な記号です。数学は、関係を考える学問なので、その関係を表す記号はかなり重要な存在で、大きな意味を持ちます。ところが、これをキチンと扱えていない生徒が本当に多いです。たとえば、次のような感じです。


e0017757_14562843.jpg

e0017757_1450308.jpg


等号をキチンと扱わない生徒は、計算の途中もキチンと書けていないため、当然のことながら、計算を間違えることも多いです。

たかが記号の使い方だけの話のようですが、その使い方で意味が変わってしまうこともあるので、一人一人のノートを、こまめにチェックしなければなりません。




 
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by math90 | 2006-01-29 14:44 | 中学校の数学
「計算ミス」の言葉の怖さ

しばらくの間、数学が苦手な中学生の状況について、取り上げようと思います。ほとんどの生徒は、中学校から数学が苦手になったと思っているようですが、その学習の仕方をみると、その原因は小学校時代に遡ることが多いと思うので、算数とは離れますが触れたいと思います。

まず、計算です。計算が苦手な生徒が最も注意しなければならないことは、キチンと理解できていないものを、単なる「計算ミス」として見逃しているということです。計算の仕方の理解が曖昧なために生じた間違えも、「計算ミス」として軽く考えていることが多いということです。

さらに、なんとなく分かっている生徒は、すべてが誤りと言うわけでないので、理解できていないことを、ますます見逃しやすくなっていると思います。例えば、
e0017757_2143832.jpg

ほんの一例ですが、これらは、ケアレスミスによる計算ミスではありません。正解したときは、たまたま正解と同じ答えになっただけなのです。ところが、本人はそうは思っていないので、軽く考えています。結果として、いつまでも同じような間違えを繰り返します。

さらに困ったことに、なんとなく分かっている生徒は、なんとなくさが身についてしまっているので、自分ではなかなか修正できません。このような生徒たちには、まず、単なるケアレスミスではないことを、キチンと意識させることからはじめねばなりません。

そして、なんとなく分かっているということは、理解しているのではないこと、曖昧な部分を残さず理解するのが基本であることを指導していかねばなりません。

「計算ミス」とは、計算の仕方は分かっているが、ケアレスミスにより間違えたものを指します。単なるケアレスミスというイメージのある「計算ミス」と言う言葉は、重要な間違えを見えにくくすることがあるので、安易に使ってはいけないと思っています。





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by math90 | 2006-01-08 18:32 | 中学校の数学
中学生と予習

公立中学校の中間テストの時期です。塾では叱咤激励の日々。演習が足りない生徒ばかりです。時間が足りません。

中学校では、試験の前の週に新しい分野に入って、翌週の定期テストの範囲に含まれてしまう、ということが少なくありません。これでは、十分な演習をする時間がありません。特に運動会の練習に時間をとられたあとは、いきなり進む学校が少なくありません。

生まれて初めて「平方根」なるものに出会って、1週間で、使いこなせるようになるわけがありません。1週間では、まだ根号の中の平方数を根号の外に出すのにも時間がかかり、計算までおぼつかない段階です。

つまり、定期テストに間に合わせるためには、中学生でも、「予習」が必須となるわけです。それも、教科書を読む程度の簡単な予習ではなく、演習も含めた予習が必要になります。塾でも、かなり前倒しして予習をしています。それでも、学校の進め方が無理なスピードのときは、間に合わないこともあります。

高校生は、数学でも英語でも中学校で一応の基礎を学習しているので、自学での予習もできると思います。けれども、全く初めての分野が多い中学生に、自学での予習は、難しいと思います。塾等に通っていない生徒はどうしているのでしょうか? 中学生にとって、十分な予習を必要とするような、学校の授業の進め方には問題があると思っています。





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by math90 | 2005-10-08 23:58 | 中学校の数学
テスト対策

公立中学校の1学期期末テストが概ね終了しました。成績不振に悩む生徒の結果が気になります。

この時期の中学数学は、どの学年も計算です。とはいえ、基本ができていない生徒にとっては大変です。加減乗除の計算順序、計算式の中のかっこの意味、分数計算などが、完全に身についていないとスムーズには進めません。これらは小学校の算数で扱った内容ですが、そのあたりの復習に、中2、中3でさえ時間をとられることが多いのです。

成績不振に悩む生徒は、とにかく基本の充実のための時間が必要です。それは、特別なプログラムをすることではなく、復習となる基本演習を根気よく地道に繰り返すことで十分なのですが。

基本に不安を抱えたままでも、いつまでも復習ばかりしていられません。とりあえずテスト対策に取り掛かります。テスト対策は本来の学習ではありません。とりあえずテストに出題されそうな問題を中心に演習します。つまり、これは「対症療法」に過ぎません。

成績UPを究極の使命とされている塾としては、基本の充実を図りたいと思いつつも、テスト対策が即点数につながるため、そちらを優先することになります。基本のできている生徒はこの対症療法でも十分成績UPにつながります。ところが、成績不振の生徒にとっては、この対症療法のみでは当然限界があり、その効果は一時的なものでしかありません。そのことを、生徒はもちろん家庭でも理解して、自覚してもらいたい、といつも訴えています。





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by math90 | 2005-07-04 22:45 | 中学校の数学